1. σ-집합대수(시그마 집합대수, σ-Field)

집합(set)은 '잘 정의된 대상들의 모임(well-defined collection of objects)'입니다. 그리고 '집합을 이루고 있는 대상(객체)'을 원소(element)라고 한다.

 

집합을 구성하는 대상(= 원소)은 집합이 될 수도 있다.

이러한 경우를 '집합족(family of sets)'이라고 합니다.

즉 집합족은 집합을 원소로 하는 집합이며 이 때 집합들이 어떤 성질을 만족하고 있을 때, 그 집합들로 이루어진 집합족을 '집합대수(algebra) 또는 필드(체, field)'라 부른다.

 

집합족은 집합을 원소로 갖는 집합이다.

집합대수는 어떤 특정한 성질을 만족하는 집합족이다.

어떤 집합 $X$ 가 있다고 해보자.

그럼 이 집합 $X$ 로 부분집합을 구성할 수 있다.

 

그리고 어떤 집합의 원소가 $n$개일 때, 이 집합의 부분집합의 개수는 2$n$ 이다.

이 때 $n$  대신에 집합 $X$ 의 부분집합을 모두 모아놓았다는 의미로서,

집합 $X$ 의 부분집합을 모두 모아놓은 집합을 $2$X (또는 $P$($X$))라 한다.

 

다시 정리하면 $2$$X$ (= $P$($X$))는 집합 $X$ 의 부분집합 전체를 모아놓은 집합이므로 집합족이다.

이 때 $2$$X$ (= $P$($X$)) 를 $X$ 의 '멱집합(power set)'이라 부른다.

그리고 $2$$X$ = $P$($X$) 는 집합을 원소로 갖는 집합족이므로

이 집합족의 부분집합족(집합에 부분집합이 있듯이)을 생각해볼 수 있다.

 

이 $P$($X$)  의 부분집합족을 $E$ 라고 하자. 즉 $E$ 는 집합 $X$ 의 적당한 부분집합들을 원소로 갖는 집합족이다.

위에서 집합대수는 어떤 성질을 만족하는 집합으로 이루어진 집합족이라고 했는데,

이 $E$ 가 집합대수가 되려면 다음 세 가지를 만족해야 한다.

 

−집합대수−

$X$: 집합, $E\subseteq 2^X=P(X)$

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너무 졸려서 추후 정리함