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Statistics/확률론

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9. 이산형 확률변수(기하분포) 기하분포란, 베르누이 시행을 계속한다고 가정하면 처음으로 성공이 나왔을 때의 시행횟수를 확률변수 X라고 할 때 X를 기하확률변수라고 한다. $ X \sim Geometric(p) $ 라고 표현하고 확률질량함수는 다음과 같다 $ p(k) = (1-p)^{k-1}p $, $ k=1,2,\cdots $ 추후 내용은 언젠가 작성할 것이다 그럼 안녕
8. 이산형 확률변수(초기하분포) 일단 우리가 베르누이 분포를 배울 때, 고려하지 않은 부분이 있다. 바로바로 베르누이 분포가 복원추출인지, 비복원추출인지에 대한 여부를 확인하지 않았다 1) 결론부터 말하자면 복원추출이면 바로 전 시행의 결과와 무관하기 때문에 독립성을 가지고 있고 이를 통해 베르누이 시행을 따른다고 할 수 있다. 2) 그러나 비복원 추출은 베르누이 시행의 독립성을 만족하지 않는다. 물론 모집단의 크기가 아주 큰 경우 독립성의 위반정도가 적어져서 베르누이 시행에 근사한다 이제 초기하 분포에 대해 알아보자 예시는 다음과 같다. 상자 안의 10개의 공이 있고 흰 공 6개 / 검은 공 4개가 있다 5개의 공을 무작위로 꺼낼 때 흰 공이 3개일 확률을 구하라. 우리는 초기하 분포를 두 가지로 나눌 수 있다 . 1) 복원추출이면 ..
7. 이산형 확률변수(이항분포) [ 베르누이분포, 이항 분포 ] 중 이항 분포 를 설명하겠다 이항 분포를 들어가기 전, 이항정리에 대해 알아보자 이항정리는 다음과 같다 $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{(n-k)} $ 이항계수는 다음과 같다 $\binom{n}{k}$ 특히 $ x = y = 1 $ 이면 $ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n $이고, 이항분포에서는 $ x + y = 1 $인 경우를 이용한다. 정의에 대해서 알아보자 성공할 확률이 p인 베르누이 시행을 n번 반복할 때 성공의 횟수를 X라고 하면, X가 가지는 값은 $0,1,\cdots ,n $이다.$ X=k $이려면 n번의 시행에서 k번 성공하고 (n-k)번 실패해야한다. 베르누이 시행은 성공할 확률이 p ..
6. 이산형 확률변수(베르누이 분포) [ 베르누이분포, 이항 분포 ] 중 베르누이 분포를 먼저 설명하겠다 베르누이 분포는 0과 1의 값만 가지는 확률변수이다. 앞에서 배운 지시변수와 마찬가지이다. 성공과 실패 우리는 0(실패)과 1(성공)로 놓아보자 $P(성공) = p $ 라고 가정하면 X는 성공확률이 $p$ 인 베르누이 분포를 따른다 즉 아래와 같이 나타낼 수 있다. $ X \sim Bernoulli(p) $ 실패(0)와 성공(1)은 베르누이 분포로 어떻게 나타낼 수 있을까? $p(0) = 1-p$ $p(1) = p $ 이제 위의 확률변수를 이용하여 기댓값과 분산을 구해보자 $E(X) = [0\times (1-p)] + [1\times (p)] = p $ 기댓값은 구했으므로 분산을 구해보자 $Var(X) = E(X^2)-[E(X)]^2$ ..
5. 확률변수, 그리고 확률 질량 함수(PMF) 확률변수(Random Variable)이란 무엇일까? 실험의 결과들에 대해 수치를 대응시키는 것으로 즉 표본공간에 정의된 실수 값을 갖는 함수를 뜻한다. 한 개의 동전을 던졌을 때 , 총 던진 횟수가 네 번을 넘지 않는다고 할 때 앞면이 나올 때까지 던진다고 해보자. 이 때 확률변수 X를 던진 횟수라고 할 때 표본공간의 함수로 표현하면 $ \Omega =$ {H, TH, TTH, TTTH, TTTT}로 나타낼 수 있고 X(H) = 1 X(TH) = 2 X(TTH) = 3 X(TTTH) = 4 X(TTTT) = 4 로 나타낼 수 있다. 즉 확률변수 X가 가지는 값이 1,2,3,4라고 이해하면 되겠다 각 값 $x_i$에 대해 $p(x_i) =P(X=x_i)$를 확률변수 X의 확률질량함수(PMF)라고 한다 즉..
4. 분할 -> 총 확률 -> 베이즈 정리 분할 $ A $와 $ A^{c} $ 은 서로 겹치지 않는다. 즉 상호배반이며 합사건에 대해서는 표본공간을 이룬다. 즉 표본공간이 두 개의 사건 $ A $와 $A^{c} $에 의해서 분할된다고 표현된다. 즉 {$ A,A^{c} $} 는 표본공간의 분할이다. 분할에 대한 정리는 다음과 같다. 사건들의 모임 {$ A_1,A_2,\cdots,A_n $}이 표본공간의 분할이 되기 위해서는 다음을 만족한다. 1. $ A_i \cap A_j = \varnothing $ $ \forall i\neq j$, 즉 각각의 사건들이 상호배반이여야 한다 2. $ \bigcup_{i=1}^{n}{A_i}=\Omega $ 즉 모든 사건들의 합사건은 표본공간을 이루어야 한다 총확률의 법칙 분할을 이용한 총확률에 대해 알아보자 이 그..
3. 조건부 확률 새로운 정보가 들어오면 확률이 수정되거나 같을 수 있다. 이것을 조건부 확률이라고 한다 $$ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} $$ 조건부 확률을 배웠으니 확률의 곱셈정리를 알아보자 $$ P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1) $$ $$ P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2) $$ $$ P(A_1A_2A_3A_4)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)P(A_4|A_1A_2A_3) $$ 규칙을 파악했을 것이다. 이것을 n번 적용하면 $$ P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1}) $$ 독립이란? 너랑 나는 영향이 없다 서로의 확률에 영향이 ..
2. 용어, 가법정리 $ A\cup B $ 합사건 : A 또는 B에 포함되는 원소들의 집합 $ A\cap B $ 곱사건 : A와 B 둘 다 포함되는 원소들의 집합 표본공간 : 실험에서 나오는 모든 결과들의 모임 ex) 주사위 던져서 한 번 던졌을 때 나오는 결과는 1,2,3,4,5,6 사건 : 표본공간의 부분집합으로 어떠한 특성을 갖는 결과들의 모임 ex) 주사위 던졌을 때 짝수인 결과 2,4,6 근원사건 : 표본공간을 구성하는 결과 중 하나의 원소로 이루어진 사건 ex1) 주사위 던졌을 때 {1},{2},{3}...{6}은 6개의 근원사건 ex2) 동전 두 번 던졌을 때 {HH} {HT} {TH} {TT}는 4개의 근원사건 배반사건 : 하나의 원소도 공유하지 않는 사건 즉 $ A\cap B=\varnothing $ 기초적인..

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