베이즈 정리

목차.

1. 베이즈정리란?

2. 베이즈 정리에 대한 증명

 

1. 베이즈 정리란?

일반적으로 원인에 대한 결과의 확률은 잘 알려져있다

즉 원인에 대한 결과의 확률을 뜻한다

예시를 들어보자

자동차 고장이 난 결과에 대한 확률을 구하는 것보다

자동차 고장 원인에 대한 확률을 찾아야한다.

그렇다. 이 때 베이즈 정리를 사용하는 것이다

조건부 확률을 구할 때, 조건 상황이 역으로 되어 있는 확률을 이용하는 것

 

베이즈 정리 예시이다

남자 합격은 다음과 같이 계산한다.

여자 합격도 다음과 같이 계산한다

 

베이즈 정리 공식

사전확률(사건이 일어나기 전 일어날 확률)에 대한 공식

사후확률(사건이 일어난 후의 확률)에 대한 공식

 

 

 

 

베이즈 정리에 대한 예제이다

합격을 가정하고 남학생의 확률을 구하는 문제이다. = P( A1 | B)

 

반대로

남학생을 가정하고 합격의 확률을 구하는 문제이다. = P(A2 | B)

 

2. 베이즈 정리에 대한 증명 (2개의 사건)

베이즈 정리에선 아래와 같이 나타낸다

주어진 문제에서 P(B | A1)을 주면 초록색 글씨처럼 나타내면 될 것이고

 

STEP 1) P(A1 | B) 를 주면 회색 글씨처럼 바꿔주면 될 것이다.

 

위에서 배운 공식을 이용하여

아래와 같이 나타낼 수 있다.

 

STEP 2) 조건부 확률의 곱셈규칙을 사용한다.

 

STEP 3) 베이즈 정리에 대해 STEP 1 STEP 2 를 적용한 결과이다.

 

 

3. 베이즈 정리에 대한 증명 (여러개의 사건)

 

STEP1 ) 여러개의 사건일 때 베이즈 정리의 공리이다.

STEP 2)사건 B에 대해 남자, 여자가 아닌, 여러개의 A가 있을 때(A1,A2,A3,A4,A5 ---)

베이즈 정리 분모에 들어가는 P(B)를 아래 사진과 같은 전확률 공식을 통하여 삽입할 수 있다 

STEP 3) 위의 전확률 공식을 통해 P(B)를 구했다면 베이즈 정리의 분모에 넣어주면 된다.

최종적으로 나오는 전확률 공식을 적용한 베이즈정리는 아래와 같다

 

이것으로 베이즈 정리에 대한 내용을 마치겠다.