7. 이산형 확률변수(이항분포)

[ 베르누이분포, 이항 분포 ] 중 이항 분포 를 설명하겠다

 

이항 분포를 들어가기 전, 이항정리에 대해 알아보자

 

이항정리는 다음과 같다

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{(n-k)} $

 

이항계수는 다음과 같다

$\binom{n}{k}$ 

 

특히 $ x = y = 1 $ 이면 $ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n $이고, 

이항분포에서는 $ x + y = 1 $인 경우를 이용한다.

 

 

 

정의에 대해서 알아보자

 

성공할 확률이 p인 베르누이 시행을 n번 반복할 때 성공의 횟수를 X라고 하면,

X가 가지는 값은 $0,1,\cdots ,n $이다.$ X=k $이려면 n번의 시행에서 k번 성공하고 (n-k)번 실패해야한다.

 

베르누이 시행은 성공할 확률이 p 이고 실패할 확률이 1-p이기 때문에처음 k번 성공하고, 나머지 n-k번 실패할 확률은  

${\color{Teal}{p^k}}{\color{Red}{(1-p)^{n-k}}}$ 이다. 

 

이 때 n번의 베르누이 시행에서 k번 성공하는 방법의 경우의 수는

${\color{Blue}{\binom{n}{k}}}$   이므로 

X=k일 확률은 다음과 같다

 

$ P(X=k) $ = ${\color{Blue}{\binom{n}{k}}}$ ${\color{Teal}{p^k}}{\color{Red}{(1-p)^{n-k}}}$

$ k=0, 1, 2, \cdots, n $ 

 

이 때 확률변수 X는 모수가 $(n,p)$ 인 이항분포(Binomial distiribution)을 따른다고 하고 

$X \sim Bin(n,p)$으로 표현한다