6. 이산형 확률변수(베르누이 분포)

[ 베르누이분포, 이항 분포 ] 중 베르누이 분포를 먼저 설명하겠다

 

베르누이 분포는 0과 1의 값만 가지는 확률변수이다.

앞에서 배운 지시변수와 마찬가지이다.

 

성공과 실패 우리는 0(실패)과 1(성공)로 놓아보자

$P(성공) = p $ 라고 가정하면

X는 성공확률이 $p$ 인 베르누이 분포를 따른다

즉 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$ X \sim Bernoulli(p) $

 

실패(0)와 성공(1)은 베르누이 분포로 어떻게 나타낼 수 있을까?

$p(0) = 1-p$ 

$p(1) = p $

 

이제 위의 확률변수를 이용하여 기댓값과 분산을 구해보자

 

$E(X) = [0\times (1-p)] + [1\times (p)] = p $

 

기댓값은 구했으므로 분산을 구해보자

 

$Var(X) = E(X^2)-[E(X)]^2$

 

이 때 $E(X^2) = [0^2\times (1-p) ]+ [1^2\times (p)]$ 을 이용하자

 

그러면

 

$E(X^2)-[0^2\times (1-p)] + [1^2\times (p)]- [0\times (1-p) + 1\times (p)]^2 = p-p^2 = p(1-p)$이다.

 

$\therefore Var(X) = p(1-p)$

그렇다면 베르누이 분포를 열심히 배웠겠다. 대체 어디다가 써먹는걸까?

바로 베르누이 시행에 써먹는다.

그러면 베르누이 시행은 뭘까?

 

베르누이 시행의 조건을 알아보자

1) 각 시행은 성공, 실패 즉 두가지의 결과만을 가진다

2) 각 시행에서 성공할 확률이 $P(성공) = p$로 같다

3) 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않는 독립이다

 

이 베르누이 시행을 여러번 하는 경우는...뭘까?

하나씩 구할까? 아니면 다른 분포가 있을까?

다음은 이항분포를 배워보자