5. 확률변수, 그리고 확률 질량 함수(PMF)

확률변수(Random Variable)이란 무엇일까?

실험의 결과들에 대해 수치를 대응시키는 것으로

즉 표본공간에 정의된 실수 값을 갖는 함수를 뜻한다.

 

한 개의 동전을 던졌을 때 , 총 던진 횟수가 네 번을 넘지 않는다고 할 때

앞면이 나올 때까지 던진다고 해보자. 이 때 

확률변수 X를 던진 횟수라고 할 때 표본공간의 함수로 표현하면

$ \Omega =$ {H, TH, TTH, TTTH, TTTT}로 나타낼 수 있고

X(H) = 1

X(TH) = 2

X(TTH) = 3

X(TTTH) = 4

X(TTTT) = 4

로 나타낼 수 있다.

즉 확률변수 X가 가지는 값이 1,2,3,4라고 이해하면 되겠다

 

각 값 $x_i$에 대해 $p(x_i) =P(X=x_i)$를

확률변수 X의 확률질량함수(PMF)라고 한다

 

즉 위의 경우에 1, 2, 3, 4에 대해

$p(1)=P(X=1)$,

$p(2)=P(X=2)$

$\cdots$

$p(4) =P(X=4)$를 

확률변수 X의 확률질량함수라고 하는 것이다..

 

다음은 확률질량함수의 성질에 대해 알아보자

1) 일단 0과 1사이에 있다.

2) 모든 확률의 합이 1이다.

 

확률이라면 다 그렇다 너무 자명하다

 

0과 1의 값만 가지는  지시변수(Indicator variable)도 이산형 확률변수이다.

당연히 위의 성질을 만족한다

우리는 이산형 확률변수를 배우고 있기 때문에, 위의 성질을 연속형에서 헷갈리면 안된다

 

다음에 배울 것은

[ 베르누이분포, 이항분포 ]

[ 기하분포, 음이항분포 ]

[ 포아송 분포 ]

 

이 3가지를 묶어서 설명하는지는 다음 글에서 이해할 수 있을 것이다.